% Beispiel für die Nutzung der nxtthesis-Klasse
\documentclass[german,stix]{nxtthesis}

\newfontfamily{\nxtlogofont}{NXT Logo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Diese Variablen müssen festgelegt werden
\title{Abschlussarbeit mit \LaTeX{}}
\author{Jean Dujardin}
\adresse{Wegstraße 123, 12345 Hauptstadt}
\matrikelnummer{1234567}
\akademischergrad{Bachelor of Science}
\date{\today}
\abgabedatum{24. Dezember 2025}
\studiengang{Nachhaltige Technologie}
\erstpruef{Prof.~Dr.~Katharina Erstmal}
\erstpruefbezeichnung{Erstprüferin}
\zweitpruef{Prof.~Dr.~Kornelius Hurtig}
\zweitpruefbezeichnung{Zweitprüfer}

% durch Änderung dieser Variablen kann man die Klasse auch an anderen
% Fakultäten verwenden
% \fakultaet{NXT Nachhaltigkeit und Technologie}
% \hochschule{Hochschule Reutlingen}


\usepackage{amsmath}
\usepackage[backend=biber,style=apa]{biblatex}

% Bibliographie-Einträge direkt in der Datei. 
% In einer echten Arbeit würde man diese Einträge in 
% einer separaten .bib-Datei anlegen und mit 
% \addbibresource{datei.bib} einbinden.

\begin{filecontents}{\jobname.bib}
@book{taocp1,
  author    = {Donald E. Knuth},
  title     = {The Art of Computer Programming,
               Volume 1: Fundamental Algorithms},
  edition   = {3},
  publisher = {Addison-Wesley},
  address   = {Reading, MA},
  year      = {1997},
  isbn      = {978-0-201-89683-1}
}
@book{taocp2,
  author    = {Donald E. Knuth},
  title     = {The Art of Computer Programming,
               Volume 2: Seminumerical Algorithms},
  edition   = {3},
  publisher = {Addison-Wesley},
  address   = {Reading, MA},
  year      = {1997},
  isbn      = {978-0-201-89684-8}
}
@book{taocp3,
  author    = {Donald E. Knuth},
  title     = {The Art of Computer Programming,
               Volume 3: Sorting and Searching},
  edition   = {2},
  publisher = {Addison-Wesley},
  address   = {Reading, MA},
  year      = {1998},
  isbn      = {978-0-201-89685-5}
}
@book{taocp4a,
  author    = {Donald E. Knuth},
  title     = {The Art of Computer Programming,
               Volume 4A: Combinatorial Algorithms, Part 1},
  edition   = {1},
  publisher = {Addison-Wesley},
  address   = {Upper Saddle River, NJ},
  year      = {2011},
  isbn      = {978-0-201-03804-0}
}
@book{taocp4b,
  author    = {Donald E. Knuth},
  title     = {The Art of Computer Programming,
               Volume 4B: Combinatorial Algorithms, Part 2},
  edition   = {1},
  publisher = {Addison-Wesley},
  address   = {Upper Saddle River, NJ},
  year      = {2022},
  isbn      = {978-0-201-03806-4}
}
@book{texbook,
  author    = {Donald E. Knuth},
  title     = {The \TeX book},
  series    = {Computers \& Typesetting},
  volume    = {A},
  publisher = {Addison-Wesley},
  address   = {Reading, MA},
  year      = {1984},
  isbn      = {978-0-201-13448-3}
}
@book{lamport1994latex,
  author    = {Leslie Lamport},
  title     = {LaTeX: A Document Preparation System},
  edition   = {2},
  publisher = {Addison-Wesley},
  address   = {Reading, MA},
  year      = {1994},
  isbn      = {978-0-201-52983-8}
}
\end{filecontents}

\addbibresource{\jobname.bib}

\begin{document}
\maketitle

\chapter*{Abstract}
Kleines Abstract.

% table of contents, list of figures, list of tables
\tableofcontents
\listoftables

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Einleitung}

Die Einleitung.

\section{Ziel der Arbeit}

Das Ziel der Arbeit.

\subsection{Teilziel 1}
Das erste Teilziel.

\subsection{Teilziel 2}
Das zweite Teilziel.

\section{Aufbau der Arbeit}
Der Aufbau der Arbeit.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Grundlagen}

Die Grundlagen.

\section{Abbildungen für Kenner}
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso. 
Zwischendurch zitieren wir mal ein Buch \parencite{taocp1}.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Zwischendurch zitieren wir mal ein Buch \parencite{taocp2}.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Zwischendurch zitieren wir mal ein Buch \parencite{taocp3}.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso. 

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man 
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

\section{Abbildungen für Anfänger}

% Beispiel für Abbildung
\begin{figure}[t]
  \centering
  {\nxtlogofont\color{nxtgreen} {\fontsize{144pt}{144pt}\selectfont N}}
  % \includegraphics[width=0.5\textwidth]{beispielbild.png}
  \caption[Beispielbild N]{Das Beispielbild zeigt den Buchstaben N}
  \label{fig:beispielbild}
\end{figure}

Interessanterweise taucht der Buchstabe N in der Abbildung~\ref{fig:beispielbild} auf,
jedoch nicht in der Tabelle~\ref{tab:beispieltabelle} auf Seite \pageref{tab:beispieltabelle}.

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

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\chapter{Methodik}

Die Methodik in dieses Kapitel? Warum nicht?

\subsection{Tabellen für Anfänger}

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

Etwas interessantes steht in \textcite{taocp4a} und \textcite{taocp4b}. 
Und auch in \textcite{texbook} und \textcite{lamport1994latex}.

% Beispiel für Tabelle
\begin{table}[tb]
  \centering
  \begin{tabular}{lrrrr}
    \toprule
    Eins & \multicolumn{4}{c}{Angabe} \\
    \cmidrule(lr){2-5}
    & \multicolumn{2}{c}{mit} & \multicolumn{2}{c}{ohne} \\
    \cmidrule(lr){2-3} \cmidrule(lr){4-5}
    & 1000 & 1212 & 3333 & 34343 \\
    & 5000 & 5505 & 500 & 555 \\
    \midrule  
    Zwei & 1 & 2 & 3 & 4 \\    
    \bottomrule
  \end{tabular}
  \caption[Eine Beispieltabelle]{Eine Beispieltabelle ohne Sinn und Verstand}
  \label{tab:beispieltabelle}
\end{table}

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

\section{Tabellen für Kenner}

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.

Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.
Dies hier ist Blindtext, der wirklich nicht gelesen werden soll.
Damit soll nur die Seite gefüllt werden, damit man
sehen kann, wie die Abbildung aussieht, wenn sie von Text umgeben ist.
Dasselbe gilt hier immer noch und hier ebenso.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Anwendungsfall}

Die Anwendungsfallbeschreibung.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Auswertung der Ergebnisse}

\section{Mathematische Grundlagen der Optimierung}

Ziel der Auswertung ist die Minimierung einer Verlustfunktion
$\mathcal{L}\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, die den Abstand
zwischen Modellvorhersage und Messdaten quantifiziert.
Sei $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ der Parametervektor des Modells
und $\{(\mathbf{u}_i, y_i)\}_{i=1}^{m}$ die Menge der $m$
Beobachtungen, so lautet die quadratische Verlustfunktion

\begin{equation}
  \mathcal{L}(\mathbf{x}) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m}
  \bigl(f(\mathbf{u}_i;\, \mathbf{x}) - y_i\bigr)^2,
\end{equation}

wobei $f(\mathbf{u};\,\mathbf{x})$ die Modellfunktion bezeichnet.
Der Gradient von $\mathcal{L}$ bezüglich $\mathbf{x}$ ist

\begin{equation}
  \nabla_{\mathbf{x}}\,\mathcal{L}(\mathbf{x})
  = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}
    \bigl(f(\mathbf{u}_i;\,\mathbf{x}) - y_i\bigr)\,
    \nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{u}_i;\,\mathbf{x}).
\end{equation}

\section{Gradientenverfahren}

Das \emph{Gradientenabstiegsverfahren} (Gradient Descent) aktualisiert
den Parametervektor in jeder Iteration $k$ gemäß

\begin{equation}
  \mathbf{x}^{(k+1)} = \mathbf{x}^{(k)}
  - \alpha\,\nabla_{\mathbf{x}}\,\mathcal{L}\!\left(\mathbf{x}^{(k)}\right),
  \label{eq:gd}
\end{equation}

wobei $\alpha > 0$ die Lernrate bezeichnet.
Konvergenz ist gesichert, falls $\mathcal{L}$ konvex und
$\alpha \leq 1/L$ gilt, wobei $L$ die Lipschitz-Konstante des
Gradienten ist \textcite{taocp4a}.

Für eine quadratische Verlustfunktion $\mathcal{L}(\mathbf{x}) =
\tfrac{1}{2}\mathbf{x}^\top A\mathbf{x} - \mathbf{b}^\top\mathbf{x}$
mit positiv definitem $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ vereinfacht sich
die Iterationsvorschrift~\eqref{eq:gd} zu

\begin{align*}
  \mathbf{x}^{(k+1)}
  &= \mathbf{x}^{(k)} - \alpha\!\left(A\mathbf{x}^{(k)} - \mathbf{b}\right) \\
  &= \left(I - \alpha A\right)\mathbf{x}^{(k)} + \alpha\mathbf{b}.
\end{align*}

Das Verfahren konvergiert genau dann, wenn der Spektralradius
$\rho(I - \alpha A) < 1$, d.\,h.\ wenn alle Eigenwerte $\lambda_i$
von $A$ die Bedingung $|1 - \alpha\lambda_i| < 1$ erfüllen,
was auf $0 < \alpha < 2/\lambda_{\max}$ führt.

\section{Newton-Verfahren}

Das \emph{Newton-Verfahren} nutzt zusätzlich die Hesse-Matrix
$H(\mathbf{x}) = \nabla^2_{\mathbf{x}}\,\mathcal{L}(\mathbf{x})$:

\begin{equation}
  \mathbf{x}^{(k+1)} = \mathbf{x}^{(k)}
  - H\!\left(\mathbf{x}^{(k)}\right)^{-1}
    \nabla_{\mathbf{x}}\,\mathcal{L}\!\left(\mathbf{x}^{(k)}\right).
\end{equation}

Die lokale Konvergenzrate ist quadratisch:
Gilt $\|\mathbf{x}^{(k)} - \mathbf{x}^*\| \leq \epsilon$,
so folgt

\begin{equation}
  \left\|\mathbf{x}^{(k+1)} - \mathbf{x}^*\right\|
  \leq C\,\left\|\mathbf{x}^{(k)} - \mathbf{x}^*\right\|^2,
\end{equation}

für eine Konstante $C > 0$, die von der Lipschitz-Konstante
der Hesse-Matrix abhängt.

\section{Ergebnisse der numerischen Auswertung}

Die rekonstruierten Parameter ergeben sich als Lösung des
Normalgleichungssystems

\begin{equation}
  A^\top A\,\hat{\mathbf{x}} = A^\top \mathbf{y},
\end{equation}

wobei $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ die Designmatrix mit
$A_{ij} = f_j(\mathbf{u}_i)$ und $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^m$
den Messvektor bezeichnet. Die Lösung lautet

\begin{equation}
  \hat{\mathbf{x}} = \bigl(A^\top A\bigr)^{-1} A^\top \mathbf{y}
  = A^+ \mathbf{y},
\end{equation}

wobei $A^+$ die Moore-Penrose-Pseudoinverse von $A$ ist.

Der verbleibende Fehler lässt sich über den $R^2$-Koeffizienten
quantifizieren:

\begin{align*}
  \mathrm{SS}_{\mathrm{res}}
    &= \sum_{i=1}^{m} \bigl(y_i - f(\mathbf{u}_i;\,\hat{\mathbf{x}})\bigr)^2, \\
  \mathrm{SS}_{\mathrm{tot}}
    &= \sum_{i=1}^{m} \bigl(y_i - \bar{y}\bigr)^2, \\
  R^2 &= 1 - \frac{\mathrm{SS}_{\mathrm{res}}}{\mathrm{SS}_{\mathrm{tot}}}.
\end{align*}

Ein Wert von $R^2 \approx 1$ zeigt eine gute Übereinstimmung
zwischen Modell und Messdaten an.
Die Auswertung der vorliegenden Messdaten ergab $R^2 = 0{,}9874$,
was auf eine sehr gute Modellgüte hindeutet.

Die Unsicherheit der Schätzung $\hat{\mathbf{x}}$ lässt sich durch
die Kovarianzmatrix

\begin{equation}
  \mathrm{Cov}(\hat{\mathbf{x}})
  = \sigma^2 \bigl(A^\top A\bigr)^{-1}, \qquad
  \hat{\sigma}^2
  = \frac{\mathrm{SS}_{\mathrm{res}}}{m - n}
\end{equation}

quantifizieren, wobei $\hat{\sigma}^2$ der erwartungstreue Schätzer
der Rauschvarianz $\sigma^2$ ist.
Das Konfidenzintervall für den $j$-ten Parameter zum Niveau
$1 - \alpha$ lautet

\begin{equation}
  \hat{x}_j \pm t_{m-n,\,1-\alpha/2}
  \cdot \sqrt{\bigl[\mathrm{Cov}(\hat{\mathbf{x}})\bigr]_{jj}},
\end{equation}

wobei $t_{m-n,\,1-\alpha/2}$ das $(1-\alpha/2)$-Quantil der
$t$-Verteilung mit $m-n$ Freiheitsgraden bezeichnet.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Zusammenfassung und Ausblick}

Die Zusammenfassung und der Ausblick.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\printbibliography

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\printindex

\appendix

\chapter{Ein Kapitel im Anhang}
Hier ist der Anhang.

\chapter{Noch ein Kapitel im Anhang}
Hier ist noch ein Kapitel im Anhang.

\newpage
Hier steht, wie ich KI für die Arbeit genutzt habe.

\eigenständigkeitserklärung
\end{document}
